Résumé

Entièrement revue, mise à jour et augmentée de plusieurs nouveaux exercices, cette douzième édition du célèbre manuel de RDM de Jean-Claude Doubrère témoigne du statut de classique de référence désormais accordé à ce petit livre qui reste accessible à tous.

Initialement destiné aux techniciens de génie civil appelés à dresser de petits ouvrages d’art ou de bâtiment, il rend aujourd’hui de précieux services à tous les professionnels de la construction qui ont besoin d’aller à l’essentiel avant de se tourner, le cas échéant, vers des ouvrages spécialisés de RDM ou vers les guides d’application des Eurocodes.

Illustré de très nombreux exemples, de tableaux, de schémas et, surtout, de 26 exercices résolus, c’est un cours dont l’auteur a voulu qu’il soit, avant tout, pratique. On pourra donc s’y reporter avant d’approfondir ses connaissances en vue de se tourner enfin vers les diverses techniques de construction, leurs systèmes, leurs méthodes et les calculs de structures qu’elles exigent.

Sommaire

Notions de statique • Moment statique et moment d’inertie d’une surface • Généralités sur la RDM • Les poutres • Contraintes produites par l’effort normal et le moment fléchissant • Contraintes produites par l’effort tranchant • Contraintes engendrées par le moment de torsion • Poutres droites isostatiques • Poutres droites hyperstatiques • Systèmes réticulés isostatiques • Stabilité de l’équilibre élastique • Annexes : Rappels d’analyse mathématique – Symboles et notations

En 1re de couverture, de haut en bas :
Simulation des contraintes mécaniques dans une pièce métallique. Essai de compression sur une éprouvette de béton Phographie Xb-70. Schéma de réaction d’une poutre simple sur deux appuis O et B, soumise à une charge concentrée images en un point A (efforts tranchants et moments fléchissants).

Réalisation de la couverture : Christophe Picaud

Chez le même éditeur

Youde Xiong, Formulaire de résistance des matériaux, 360 p.

– Formulaire de mécanique : transmission de puissance, 384 p.

– Formulaire de mécanique : pièces de construction, 490 p.

– Éléments finis, 320 p.

– Toute la résistance des matériaux, 926 p.

Biographie auteur

Ingénieur général des ponts et chaussées, Jean-Claude Doubrère a notamment contribué à l’édification de nombreux ouvrages de génie civil, et enseigne la RDM et le béton armé depuis plus de...

Jean-Claude Doubrère

Résistance des matériaux

Cours et exercices corrigés

12e édition revue et enrichie

ÉDITIONS EYROLLES
61, bd Saint-Germain
75240 Paris Cedex 05
www.editions-eyrolles.com

En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que ce soit, sans l’autorisation de l’Éditeur ou du Centre Français d’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris.

© Groupe Eyrolles, 2013, ISBN : 978-2-212-13623-4

Également aux éditions Eyrolles (extrait du catalogue)

Série Enseignement professionnel et formation continue

Léonard HAMBURGER, Maître d’ouvrage bâtiment. Guide pratique, technique et juridique, 2012, 384 p.

Yves WILDLOECHER et David CUSANT, Manuel de l’étude de prix. Entreprises du BTP, 2012, 208 p.

Jean-Pierre GOUSSET, Dessin technique et lecture de plan. Principes & exercices, 2e éd. 2013, 288 p.

Christian LEMAITRE, Les matériaux de construction

1. Propriétés physico-chimiques des matériaux, 2012, 144 p.

2. Mise en œuvre et emploi des matériaux, 2012, 288 p.

Méthodes

Michel BRABANT, Béatrice PATIZEL, Armelle PIÈGLE & Hélène MÜLLER, Topographie opérationnelle, 3e éd. 2011, 424 p.

Marc LANDOWSKI & Bertrand LEMOINE, Concevoir et construire en acier, collection « Les essentiels acier », 2011, 112 p. coédition ConstruirAcier

Collectif, Lexique de construction métallique, nouvelle édition revue et mise à jour par Jean-Pierre Muzeau, collection « Les essentiels acier », coédition ConstruirAcier, 2013, 352 p.

Collectif Capeb/CTICM/ConstruirAcier, Structures métalliques : ouvrages simples. Guide technique et de calcul d’éléments structurels en acier, 2013, 104 p.

Carol MAILLARD, Les enveloppes en acier du bâtiment : façades et toitures, coédition ContruirAcier, 2013, 288 p.

Jean-Louis GRANJU, Béton armé. Théorie et applications selon l’Eurocode 2, 2011, 480 p.

Généralités

Jean-Paul ROY & Jean-Luc BLIN-LACROIX, Dictionnaire professionnel du BTP...

Table des matières

Introduction

CHAPITRE 1. Notions de statique

1.1 Forces et moments de forces

1.1.1 Forces

1.1.2 Moments de forces

1.2 Actions et réactions

1.3 Équilibre d’un solide

1.4 Éléments de statique graphique

1.4.1 Composition des forces d’un solide

1.4.2 Détermination de la résultante d’un système de forces

Exercices – Poutre sur appuis simples : calcul des réactions d’appui

Poutre avec double appui simple : calcul des réactions d’appui

Statique graphique

CHAPITRE 2. Moment statique et moment d’inertie d’une surface

2.1 Moment statique

2.2 Moment d’inertie

2.3 Module d’inertie

2.4 Tableau des différents moments et modules pour les figures simples

Exercices – Calcul du moment d’inertie et du module d’inertie d’un rectangle évidé

Cas d’une cornière

Cas d’un profil en T

CHAPITRE 3. Généralités sur la résistance des matériaux

3.1 But de la résistance des matériaux

3.2 Notion de contrainte

3.3 Étude expérimentale de la relation entre contraintes et déformations

3.4 Contraintes admissibles – Notion de coefficient de sécurité

Exercices – Éléments de la courbe d’essai de traction

Application du coefficient de Poisson

CHAPITRE 4. Les poutres

4.1 Définition d’une poutre

4.2 Forces appliquées aux poutres

4.2.1 Forces données

4.2.2 Réactions d’appui

4.2.3 Relations entre forces données et réactions d’appui

4.3 Première hypothèse fondamentale de la théorie des poutres : principe de Saint-Venant

4.3.1 Principe de Saint-Venant

4.3.2 Système des forces extérieures à une section

4.3.3 Application : poutre droite sur appuis simples

4.4 Deuxième hypothèse fondamentale de la théorie des poutres : principe de Navier-Bernoulli

Exercice – Arc symétrique à trois articulations

CHAPITRE 5. Contraintes produites par l’effort normal et le moment fléchissant

5.1 Étude de l’effort normal – Compression ou traction simple

5.2 Étude du moment fléchissant

5.2.1 Flexion pure

5.2.2 Flexion simple

5.2.3 Flexion composée

5.2.4 Noyau central – Résistance des maçonneries

Exercices – Étude d’une poutre métallique

Étude d’une section circulaire

Étude d’une fondation

CHAPITRE 6. Contraintes produites par l’effort tranchant

6.1 Généralités

6.2 Calcul de la contrainte de cisaillement

6.3 Étude de quelques sections particulières

6.3.1 Section rectangulaire de hauteur 2h et de largeur b

6.3.2 Section circulaire de rayon R

6.3.3 Section en double-té symétrique par rapport à l’axe Gz

Exercices – Étude d’une poutre de section rectangulaire

Poutre de section rectangulaire – Autre section

CHAPITRE 7. Contraintes engendrées par le moment de torsion

7.1 Résultats de la théorie de la torsion

7.1.1 Section elliptique

7.1.2 Section circulaire

7.1.3 Section rectangulaire

Exercices – Étude d’un barreau circulaire

Étude d’une tôle d’acier

CHAPITRE 8. Poutres droites isostatiques

8.1 Poutres sur appuis simples

8.1.1 Définition

8.1.2 Calcul des efforts et des moments sous une charge concentrée – Lignes d’influence

8.1.3 Systèmes de charges concentrées : principe de superposition des charges – Effet d’un convoi – Théorème de Barré

8.1.4 Cas de charges réparties

8.1.5 Lignes enveloppes

8.1.6 Calcul des flèches

8.2 Consoles

8.2.1 Définition

8.2.2 Détermination de l’effort tranchant et du moment fléchissant sous une charge concentrée – Ligne d’influence

8.2.3 Cas d’une charge uniformément répartie

8.2.4 Calcul des flèches

8.3 Étude des poutres consoles

Exercices – Poutre sur appuis simples

Calcul de la flèche à l’extrémité d’une console

Étude d’une poutre console

CHAPITRE 9. Poutres droites hyperstatiques

9.1 Généralités

9.2 Formules valables pour toutes les poutres hyperstatiques

9.3 Poutre encastrée à ses deux extrémités

9.4 Poutre encastrée à une extrémité, sur appui simple à l’autre

9.5 Poutres continues

9.6 Cas particulier des bâtiments courants en béton armé

9.7 Autre méthode pour le calcul des poutres hyperstatiques – Équation de Clapeyron

Exercices – Poutre encastrée à une extrémité sur appui simple à l’autre

Poutre continue à deux travées égales

Poutre continue à trois travées égales

Poutre continue à quatre travées égales

CHAPITRE 10. Systèmes réticulés isostatiques

10.1 Définitions

10.2 Méthode des nœuds – Épure de Crémona

10.3 Méthode des sections

Exercice – Poutre triangulée

CHAPITRE 11. Stabilité de l’équilibre élastique

11.1 Introduction

11.2 Poutre sur appuis simples, de section constante, comprimée et fléchie

11.3 Flambement des poutres droites de section constante

11.3.1 Poutre articulée à ses extrémités

11.3.2 Poutres soumises à des conditions aux limites diverses

11.3.3 Sécurité vis-à-vis du flambement – Contraintes admissibles

11.4 Prescriptions des règlements en vigueur

11.4.1 Règlements relatifs aux constructions métalliques

11.4.2 Règlement relatif au béton armé

Exercices – Barre d’acier de section rectangulaire

Poteau comprimé

ANNEXE A. Rappels d’analyse mathématique

A.1 Fonction dérivée

A.1.1 Exemple : fonction linéaire

A.1.2 Exemple : fonction du second degré

A.1.3 Exemple : fonction de degré n

A.1.4 Dérivées d’une somme, d’un produit, ou d’un quotient de fonctions dérivables

A.1.5 Dérivée d’une fonction de fonction

A.1.6 Rappel de quelques dérivées de fonctions

A.1.7 Dérivée de la fonction réciproque d’une fonction dérivable

A.2 Notion d’intégrale définie

A.2.1 Propriétés de l’intégrale définie

A.2.2 Fonction définie par une intégrale

A.3 Fonctions primitives

A.3.1 Définition

A.3.2 Fonction primitive de valeur donnée en un point donné

A.3.3 Relation entre intégrale définie et primitive

A.3.4 Intégrale indéfinie

A.3.5 Recherche des fonctions primitives d’une fonction donnée

A.3.6 Aire d’une surface plane

A.4 Équations différentielles

A.4.1 Équations du premier ordre

A.4.2 Exemples d’équations différentielles du second ordre

...

Introduction

Le cours développé dans les pages suivantes a été rédigé à l’usage des techniciens de génie civil appelés, à l’occasion de leur profession, à dresser des projets simples d’ouvrages d’art ou de bâtiment.

Il ne s’agit donc :

• ni d’un cours purement théorique,

• ni d’un cours approfondi à destination d’ingénieurs, mais d’un cours pratique relativement complet, comprenant peu de démonstrations, mais contenant de nombreux exemples concrets ainsi que des exercices que le lecteur est invité à résoudre. Pour permettre au lecteur de vérifier l’exactitude de sa solution, les réponses sont données à la fin de chaque exercice.

Cet ouvrage est accessible à toute personne ayant une culture mathématique du niveau du baccalauréat scientifique.

La connaissance approfondie de ces notions de résistance des matériaux permettra par la suite au lecteur de s’intéresser aux différentes techniques de construction : béton armé, béton précontraint, construction métallique, construction bois, construction maçonnerie etc.

Les unités de mesure utilisées sont les unités légales du Système International (S.I.) :

• longueur : le mètre (m) ;

• masse : le kilogramme (kg) ;

• temps : la seconde (s) ;

• force : le newton (N), force imprimant à une masse de 1 kg une accélération de 1 m.s–2 ;

• travail et énergie : le joule (J) égal à 1 mètre × newton (mN) ;

• moment : le mètre × newton (mN) ;

• pression et contrainte : le pascal (Pa), correspondant à 1 N/m².

Outre les unités de base citées ci-dessus, on trouve parfois des multiples, par exemple le bar, correspondant à une pression de 1 décanewton par centimètres carré (1 daN/cm²), rappelant l’ancienne unité courante kilogramme-force/cm²¹.

Ainsi le kgf vaut 9,81 N, valeur assimilée souvent à 10 N, soit 1 daN. Le bar correspond à 10⁵ Pa.

L’hectobar (hb), utilisé souvent en construction métallique, rappelle le kgf/mm². Il vaut 10⁷ Pa.

De la même manière, l’ancienne unité tonne-force/m² correspond sensiblement à 10⁴ Pa.

1. Rappelons en effet que le kgf était la force imprimant à une masse de 1 kg-masse une accélération...

CHAPITRE 1

Notions de statique

1.1 Forces et moments de forces

1.1.1 Forces

1.1.1.1 Notion de forces

Quelle que soit leur nature, et quelle que soit la façon dont elles se manifestent (à distance, ou au contact de deux corps), les forces (par exemple le poids d’un corps), sont, en résistance des matériaux comme en physique traditionnelle, des grandeurs vectorielles.

Il faut donc, chaque fois que l’on considère une force, rechercher :

• la droite d’action (la direction),

• le sens,

• le point d’application,

• l’intensité.

a) La droite d’action

Si une force s’exerce, par exemple, par l’intermédiaire d’un fil tendu, la droite d’action de la force est celle que matérialise le fil. De même, si une force est transmise par une tige rigide, cette tige matérialise la droite d’action de la force.

b) Le sens

Le sens d’une force est celui du mouvement qu’elle tend à produire ; si force et mouvement sont dans le même sens la force est dite motrice ; dans le cas contraire, la force est dite résistante. Par exemple, les forces de frottement sont des forces résistantes.

c) Le point d’application

Si un solide est tiré par un fil ou poussé par une tige rigide, le point d’application est le point d’attache du fil ou le point de contact de la tige.

Dans le cas du poids d’un corps, le point d’application est le centre de gravité de ce corps.

d) L’intensité

L’intensité mesure la grandeur de la force. Elle s’exprime en Newton (N).

1.1.1.2 Équilibre d’un solide soumis à des forces concourantes

Nous considérerons successivement des forces opposées (supportées par le même axe), et des forces concourantes (dont les lignes d’action passent par un même point).

Deux forces égales mais opposées s’équilibrent

En effet, les vecteurs qui les représentent sont des vecteurs glissants opposés, dont la somme est nulle.

L’équilibre des appuis, ou des fixations, amène ainsi à envisager l’existence de forces de liaison (ou de réaction) opposées aux forces de sollicitation.

Par exemple, dans le cas du point d’attache B de la figure 1.1, sollicité par la traction du fil, l’équilibre du système n’est possible que s’il existe, au point B, une réaction images égale, mais opposée, à la force de sollicitation images.

Figure 1.1. Forces opposées.

De la même façon, considérons un fil non pesant tendu grâce à l’action de deux forces images et images, égales et opposées, appliquées respectivement en C et D ; l’équilibre des points C et D justifie l’existence, en ces points, de forces de liaison images et...

CHAPITRE 2

Moment statique et moment d’inertie d’une surface

2.1 Moment statique

Considérons une surface plane (S) et un axe xx’ (fig. 2.1).

Soit s une petite surface élémentaire à l’intérieur de la surface plane (S).

Figure 2.1. Surface élémentaire dans une surface plane.

Le moment statique de s par rapport à xx’ est défini par le produit s images y de la surface s par sa distance y à l’axe considéré ; y doit être affecté d’un signe conventionnel positif (+) ou négatif (–) selon que la surface s est d’un côté ou de l’autre de l’axe xx’. (Par exemple, positif vers le haut).

Par extension, le moment statique de la surface (S) est la somme de tous les moments statiques des surfaces élémentaires, soit :

m(S)/xx’ = ∑ (s images y)

Le centre de gravité de la surface est un point G tel que, calculé par rapport à un axe quelconque passant par ce point, le moment statique soit nul.

Si l’axe xx’ est un axe passant par G, on obtient :

m(S)/xx’ = ∑ (s images y0) = 0

...

CHAPITRE 3

Généralités sur la résistance des matériaux

3.1 But de la résistance des matériaux

La résistance des matériaux a pour objectif de donner à l’auteur d’un projet tous les éléments nécessaires pour réaliser une construction stable.

C’est une science qui s’appuie sur la mécanique rationnelle, en particulier la statique ; mais si la statique ne considère que les actions extérieures appliquées aux systèmes étudiés, la résistance des matériaux, au contraire, pénètre à l’intérieur des systèmes, pour étudier les forces appliquées à chaque élément de la matière, et donc les déformations qui en résultent.

En effet, aucun solide n’est strictement indéformable : sans parler de la dilatation des corps lors d’une augmentation de température, le lecteur a en mémoire la planche qui plie sous une charge, le fil qui s’allonge sous un effort de traction, etc.

Toutefois, si la charge ne dépasse pas une certaine limite, la planche qui plie, le fil qui s’allonge, ne se rompent pas, car il s’établit à la fois un équilibre extérieur (déterminé par la statique) et un équilibre intérieur des liaisons entre éléments du corps solide (déterminé par la résistance des matériaux).

Cet équilibre intérieur amène à définir la notion de contrainte.

3.2 Notion de contrainte

Considérons un solide quelconque en équilibre sous l’action de forces extérieures.

En général, ces forces comprennent :

• des forces de volume (forces de pesanteur, forces d’inertie)...

CHAPITRE 4

Les poutres

4.1 Définition d’une poutre

Nous ne considérerons dans cet ouvrage que les poutres dites à plan moyen, c’est-à-dire admettant un plan de symétrie dans le sens de leur longueur.

En général une poutre est : un solide engendré par une aire plane (Σ)dont le centre de gravité G décrit une courbe plane (Γ), le plan de l’aire (Σ) restant normal à la courbe (Γ).

Figure 4.1. Poutre.

L’aire (Σ) est appelée section droite ou section normale de la poutre. La courbe (Γ) est appelée la fibre moyenne de la poutre. Si la fibre moyenne est une droite, la poutre est dite droite.

• Pour les poutres à plan moyen (seules considérées dans cet ouvrage), la fibre moyenne se situe dans le plan moyen.

– Par ailleurs, il est important de noter que toutes les hypothèses posées par la suite pour la théorie des poutres, ne donnent des résultats acceptables que si les dimensions transversales de la poutre considérée sont petites par rapport à sa longueur (sans toutefois être trop faibles pour que la poutre devienne très déformable). Pour une poutre droite, le rapport de la hauteur de la section à la longueur de la poutre doit être compris entre 1/5 et 1/30. Les valeurs courantes sont de 1/10 à 1/15.

• Pour les poutres courbes (arcs), ce rapport peut être réduit à 1/50 voire 1/100 ;

– le rayon de courbure de la fibre moyenne est suffisamment grand par rapport à la dimension transversale de la poutre. En général, ce rayon doit être supérieur à cinq fois la hauteur de...

CHAPITRE 5

Contraintes produites par l’effort normal et le moment fléchissant

5.1 Étude de l’effort normal – Compression ou traction simple

Considérons un élément de poutre compris entre deux sections (S) et (S’) parallèles, de centres de gravité respectifs G et G’. L’élément de fibre moyenne GG’ a pour longueur Dx. Les deux sections (S) et (S’) sont soumises à des efforts normaux images et – images.

Il convient de compter positivement l’intensité N de images pour une compression, négativement pour une traction (fig. 5.1).

Figure 5.1. Compression d’un élément de poutre.

Un effort normal simple est obligatoirement appliqué au centre de gravité de chaque section ; sinon la section serait également soumise à un moment, hypothèse exclue pour le présent cas de figure.

Les contraintes sont normales et réparties uniformément sur toute la surface de la section. Rappelons que la section est située à une distance assez éloignée du point d’application des charges.

La valeur de cette contrainte uniforme est :

en appelant S l’aire de la section (S). Si N est exprimé en newton (N) et S en mètre carré la contrainte σ est exprimée en pascal (Pa).

L’élément de fibre de longueur Dx, compris entre (S) et (S’), subit, selon la loi de Hooke un allongement égal à :

Donc les deux sections (S) et (S’) se déplacent...

ANNEXE B

Symboles et notations

Ci-après sont répertoriés les symboles et notations utilisés dans ce livre, avec les unités correspondantes, tant en Système International qu’en unités usuelles, lorsqu’elles sont différentes. Nous indiquons également les références aux paragraphes où ils sont utilisés pour la première fois.

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