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La logique floue

BERNADETTE BOUCHON-MEUNIER

Directeur de recherche au CNRS

Quatrième édition mise à jour

14e mille

978-2-13-061307-7

Dépôt légal — 1re édition : 1993

4e édition mise à jour : 2007, août

© Presses Universitaires de France, 1993
6, avenue Reille, 75014 Paris

Introduction

La logique floue suscite un intérêt général de la part des chercheurs, des ingénieurs et des industriels, mais plus généralement de la part de tous ceux qui éprouvent le besoin de formaliser des méthodes empiriques, de généraliser des modes de raisonnement naturels, d’automatiser la prise de décision dans leur domaine, de construire des systèmes artificiels effectuant les tâches habituellement prises en charge par les humains.

Le but de ce livre est d’expliquer aussi simplement que possible en quoi consiste la logique floue et ce qu’elle peut apporter à ses utilisateurs potentiels, mais également de montrer qu’elle repose sur une théorie rigoureuse et de présenter des éléments méthodologiques qui permettent des applications allant du plus simple au plus complexe.

Les connaissances dont nous disposons sur une situation quelconque sont généralement imparfaites, soit parce que nous avons un doute sur leur validité, elles sont alors incertaines, soit parce que nous éprouvons une difficulté à les exprimer clairement, elles sont alors imprécises. Ces deux types d’imperfection dans les connaissances sont souvent intimement mêlés.

Ainsi, le monde réel apparaît-il à la fois imprécis et incertain. Il est rare que deux éléments considérés comme semblables possèdent exactement les mêmes caractéristiques (deux frères jumeaux sont généralement différenciables), les limites des états de la nature ne sont pas toujours très nettes (le passage du jour à la nuit par exemple). Même les données bien connues de l’univers sont parfois approximatives (comme la durée de gestation d’un être humain). Notre capacité à appréhender les états de l’univers est, de plus, limitée par les possibilités de nos instruments d’observation, fussent-ils nos yeux. Les observations que nous recueillons sur l’univers peuvent donc être incertaines, mais également approximatives ou vagues.

Dans le fonctionnement de l’esprit humain, les imprécisions sont aussi particulièrement remarquables, par exemple dans ses fonctions de reconnaissance et de raisonnement. La capacité d’établir des classes d’éléments de la nature ayant des propriétés analogues est très naturelle chez l’homme. Il sait reconnaître un chien, déterminer l’âge approximatif d’un individu en l’observant, identifier une voix, sans utiliser une liste précise de critères pour cette identification. Il est tout aussi naturel à l’homme de traiter des données affectées d’incertitude, inhérente à l’univers ou due à sa méconnaissance de certains facteurs (son aptitude au jeu en est la preuve) que d’utiliser des critères subjectifs, donc imprécis, tels que la fiabilité d’un observateur ou la force d’une douleur.

Notre capacité à décrire précisément un système est une fonction inverse de sa complexité, c’est-à-dire du nombre d’éléments qui le composent, des relations entre eux, de la difficulté de définir leurs caractéristiques. Le besoin d’étudier ou de gérer des systèmes complexes conduit nécessairement à la prise en compte de données vagues (« coût élevé »), imprécises (« mesurant environ 3 à 5 m »), soumises à des erreurs (200 kg à 5 % près), mal définies (« forte douleur »), dont la validité n’est pas absolue (« dans 90 % des cas »), soumises à une incertitude (« très probable »). L’être humain est pourtant naturellement compétent dans la manipulation de tels systèmes. Il suffit, pour s’en convaincre, d’évoquer le système de conduite automobile (la voiture avec ses composants mécaniques, l’ensemble routier, les règles du Code de la route, le comportement des êtres humains, l’évolution des éléments du système dans le temps...) ou encore le système musical (les instruments de musique, les méthodes de représentation des sons, les règles de composition, les capacités physiques humaines, la synchronisation, l’acoustique d’un lieu...) et de penser à la compétence des hommes pour conduire une voiture ou jouer une symphonie.

Les deux types d’imperfection dans les connaissances n’ont cependant pas eu la même importance dans les préoccupations des scientifiques. En ce qui concerne l’incertain, il a été abordé par la notion de probabilité dès le XVIIe siècle par Pascal et Fermat. Cependant, celle-ci ne permet pas de traiter des croyances subjectives comme on a longtemps pensé qu’elle pouvait le faire, ni de résoudre le problème posé par les connaissances imprécises ou vagues.

Ces dernières n’ont été prises en considération qu’à partir de 1965, lorsque L. A. Zadeh, professeur à l’Université de Californie à Berkeley, jusqu’alors internationalement connu pour ses travaux sur la théorie des systèmes, a introduit la notion de sous-ensemble flou (en anglais « fuzzy set »), à partir de l’idée d’appartenance partielle à une classe, de catégorie aux limites mal définies, de gradualité dans le passage d’une situation à une autre, dans une généralisation de la théorie classique des ensembles, admettant des situations intermédiaires entre le tout et le rien. Les développements de cette notion fournissent des moyens de représenter et de manipuler des connaissances imparfaitement décrites, vagues ou imprécises et ils établissent une interface entre des données décrites symboliquement (avec des mots) et numériquement (avec des chiffres). La logique floue conduit à raisonner sur de telles connaissances. La théorie des possibilités qui a été introduite en 1978, également par L. A. Zadeh, constitue un cadre permettant de traiter des concepts d’incertitude de nature non probabiliste. Lorsqu’elle est considérée à partir de la notion d’ensemble flou, la théorie des possibilités constitue un cadre permettant d’exploiter, dans un même formalisme, imprécisions et incertitudes.

Un nombre important de scientifiques s’est intéressé très tôt à cette nouvelle théorie et les recherches sur les aspects mathématiques et les applications des sous-ensembles flous, de la logique floue et de la théorie des possibilités se sont développées depuis la fin des années 1960, aussi bien en Europe qu’aux États-Unis, en Chine et au Japon, comme en témoignent les revues scientifiques et les congrès internationaux sur le sujet. Les premières réalisations de commande floue de processus industriels sont ainsi apparues en Europe au début des années 1970 et la méthode développée a été reprise par les Japonais au début des années 1980, pour en faire des succès industriels dont les médias se sont fait l’écho.

Il faut cependant se garder de réduire l’utilisation de la logique floue à ce seul cadre. Des applications en existent dans la plupart des domaines. Citons par exemple l’économie, la médecine, les systèmes experts, l’aide à la décision, la décision de groupe, la reconnaissance des formes, la classification, les bases de données, le traitement d’images, la robotique. Des réalisations industrielles existent par exemple dans l’automobile, l’agro-alimentaire, la chimie, la conception industrielle, la détection de risque, la recherche d’information multimédia, la fouille de données (data mining) dans des grands volumes d’information, comme Internet ou des entrepôts de données, la modélisation de l’utilisateur en vue de la personnalisation de dispositifs techniques, pour ne citer que quelques exemples.

Chapitre I

Sous-ensembles flous

La notion de sous-ensemble flou a pour but de permettre des gradations dans l’appartenance d’un élément à une classe, c’est-à-dire d’autoriser un élément à appartenir plus ou moins fortement à cette classe ; par exemple, un individu d’une taille donnée n’appartient pas du tout à la classe des « grands » s’il mesure 1,50 m, il y appartient tout à fait s’il mesure 1,80 m et, plus sa taille se rapproche de 1,80 m, plus son appartenance à la classe des « grands » est forte. Cette notion permet l’utilisation de catégories aux limites mal définies (comme « vieux » ou « adulte »), de situations intermédiaires entre le tout et le rien (« presque vrai »), le passage progressif d’une propriété à une autre (passage de « tiède » à « chaud » selon la température), l’utilisation de valeurs approximatives ( « environ douze ans »). Elle évite l’utilisation arbitraire de limites rigides à des classes ; il serait aberrant, pour reprendre l’exemple évoqué, de considérer qu’un individu de 1,78 m est grand, mais qu’un individu de 1,775 m ne l’est pas du tout.

Le concept de sous-ensemble flou constitue un assouplissement de celui de sous-ensemble d’un ensemble donné. Notons qu’on parle souvent d’ensemble flou et non de sous-ensemble flou, par abus de langage et conformément à la traduction de l’expression originale de « fuzzy set ».

I. – Définitions

Étant donné un ensemble de référence X, on peut indiquer les éléments de X qui appartiennent à une certaine classe de X et ceux qui n’y appartiennent pas. Cette classe est alors un sous-ensemble de X (au sens habituel de la théorie des ensembles), on le qualifie de classique ou d’ordinaire dans la suite. Si l’appartenance de certains éléments de X à une classe n’est pas absolue, on peut indiquer avec quel degré chaque élément appartient à cette classe. Celle-ci est alors un sous-ensemble flou de X.

1. Définition d’un sous-ensemble flou. – Un sous-ensemble classique A de X est défini par une fonction caractéristique χA qui prend la valeur 0 pour les éléments de X n’appartenant pas à A et la valeur 1 pour ceux qui appartiennent à A, χA : X → { 0, 1 }.

Un sous-ensemble flou A de X est défini par une fonction d’appartenance qui associe à chaque élément x de X, le degré ƒA (x), compris entre 0 et 1, avec lequel x appartient à A :

ƒA : X → [0, 1].

Le sous-ensemble flou A est un sous-ensemble classique de X dans le cas particulier où ƒA ne prend que des valeurs égales à 0 ou 1. Un sous-ensemble classique est donc un cas particulier de sous-ensemble flou. Les cas extrêmes de sous-ensembles flous de X sont respectivement X lui-même, associé à une fonction d’appartenance ƒX prenant la valeur 1 pour tous les éléments de X, et l’ensemble vide Ø, associé à une fonction d’appartenance nulle sur tout X. On adopte souvent la notation suivante pour représenter le sous- ensemble flou A, qui indique pour tout élément x de X son degré d’appartenance à A :

A = Σx ∈ X ƒA (x) /x, si X est dénombrable.

et

A = ∫x ƒA (x) /x, si X est non dénombrable.

2. Caractéristiques d’un sous-ensemble flou. – Pour pouvoir décrire facilement un sous-ensemble flou A de X, on utilise certaines de ses caractéristiques, essentiellement celles qui montrent dans quelle mesure il diffère d’un sous-ensemble classique de X. La première de ces caractéristiques est le support de A, c’est-à-dire l’ensemble des éléments de X qui appartiennent, au moins un peu, à A. Il est noté supp (A) et c’est la partie de X sur laquelle la fonction d’appartenance de A n’est pas nulle :

supp (A) = { x ∈ X / ƒA (x) ≠ 0 }.

La deuxième caractéristique de A est sa hauteur, notée h(A), c’est-à-dire le plus fort degré avec lequel un élément de X appartient à A. C’est la plus grande valeur prise par sa fonction d’appartenance :

h(A) = supx ∈ X ƒA (x).

Une famille importante de sous-ensembles flous, qui est utilisée dans la théorie des possibilités en particulier (chap. III), correspond à ceux qui sont normalisés, c’est-à-dire pour lesquels il existe au moins un élément de X appartenant de façon absolue (avec un degré 1) à A. Plus précisément, A est normalisé si sa hauteur h(A) est égale à 1. L’ensemble de tous les éléments appartenant de façon absolue (avec un degré 1) à A est appelé le noyau de A et noté noy (A) :

noy (A) = { x ∈ X / ƒA (x) = 1 }.

Si A est un sous-ensemble ordinaire de X, il est normalisé et il est identique à son support et à son noyau. Une dernière caractéristique du sous-ensemble flou A de X (lorsque X est fini) est sa cardinalité, évaluant le degré global avec lequel les éléments de X appartiennent à A. Elle est définie par :

| A | = Σx ∈ X ƒA (x).

Si A est un sous-ensemble ordinaire de X, sa cardinalité est le nombre d’éléments qui le composent, selon la définition classique.

Exemple I. 1 : Soit X = {Paris, Ville de province, Bourgade}, l’ensemble des lieux proposés pour une habitation, notés P, V, B. On peut définir les sous-ensembles flous suivants, correspondant à des choix :

• A = 0,8 / P + 0,6 / V + 0,4 / B

(h(A) = 0,8, supp (A) = X, noy (A) = Ø, | A | = 1,8), tous les lieux étant acceptables, avec néanmoins un ordre de préférence.

• A′= 0,2 / P + 1 / V + 0 / B

(normalisé, supp (A′) = { P, V }, noy (A′) = { V }, |A′| = 1,2), avec un choix de V, modéré par l’acceptation avec un faible degré de P.

• A″ = 0 / P + 0 / V + 1 / B

(singleton de X, normalisé, supp (A″) = noy (A″) = { B }, | A″ | = 1), avec un choix très net de B.

On note dans toute la suite F(X) l’ensemble de tous les sous-ensembles flous de X (fig. I. 1 ).

3. Spécificité et précision d’un sous-ensemble flou. – Lorsqu’on s’intéresse à un univers X, on peut percevoir un point unique x de X, par exemple la couleur blanche des cheveux ou l’âge précis d’un individu. La classe de X que l’on étudie est alors un singleton { x }. On peut aussi considérer une classe qui contient plus d’un point de X, par exemple rechercher les personnes rousses ou blondes, ou encore celles qui ont plus de 18 ans, l’information que l’on traite est alors moins spécifique puisqu’on ne localise que grossièrement les points de X qui nous intéressent. La classe de X est alors un sous-ensemble ordinaire de X. Cette localisation peut être, non seulement peu spécifique, mais également imprécise, et la classe est alors perçue avec des frontières non rigides, c’est le cas si l’on étudie des cheveux « plutôt blonds ou roux » ou des personnes « adultes ». La classe étudiée est alors un sous-ensemble flou de X, qui peut être plus ou moins spécifique, plus ou moins précis.

Fig I. 1. – Exemples de sous-ensembles flous d’univers discret (A′) ou continu (A″)

Un sous-ensemble flou A ∈ F(X) est dit plus spécifique que B ∈ F(X) si le noyau de A (non vide) est strictement inclus dans le noyau de B et supp (B) ⊇ supp (A). Les sous-ensembles flous les plus spécifiques sont les singletons { x } de X, tels que : ƒ{x} (x) = 1 et ƒ{x} (y) = 0 pour tout y ≠ x.

Un sous-ensemble flou A ∈ F(X) est plus précis qu’un sous-ensemble flou B ∈ F(X) de même noyau que lui, si le support de A est strictement inclus dans le support de B. Le sous-ensemble flou le plus précis associé à A est le sous-ensemble ordinaire noy (A) de X.

II. – Opérations sur les sous-ensembles flous

Le fait d’utiliser des sous-ensembles flous pour décrire des classes imparfaitement localisées dans X, conduit à caractériser les points de X communs à différentes...