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Résumé

Conçu et édité sous la direction de Victor Davidovici, ce guide d’application du calcul sismique croise l’expérience des auteurs avec les exigences de l’Eurocode 8.

• Dans le premier chapitre, Actions sismiques et réponses des structures, Dominique Corvez se propose de faire le lien entre le comportement dynamique des bâtiments et l’action sismique, sous forme de spectres ou d’accélérogrammes. Les notions d’amortissement et de ductilité sont également développées.

• Dans le deuxième chapitre, Méthodes de calcul, Victor Davidovici – qui a coordonné l’ouvrage – expose l’utilisation des méthodes de calcul modale et statique équivalent, depuis la stratégie du calcul sismique jusqu’à la validation des résultats ; il s’agit du domaine linéaire. La modélisation des structures, celle des masses et le détail de l’interaction sol-structure sont également présentés.

• À partir d’une explication théorique suivie d’exemples d’application, Shahrokh Ghavamian et Véronique Le Corvec mettent en évidence, dans le troisième chapitre intitulé Approche non-linéaire : pushover, le coefficient de comportement et le calcul des marges.

• Dans le quatrième chapitre, Calcul du ferraillage à partir des éléments finis, Alain Capra réactualise la méthode très utilisée par tous les logiciels pour la détermination des sections d’armatures. Le développement théorique sera très utile à la compréhension de la méthode et à la mise à jour des logiciels correspondants.

• Dans le cinquième et dernier chapitre, Pratique des logiciels de calcul sismique, Claude Saintjean regroupe le retour d’expérience des diverses astuces de modélisations ainsi que celui de l’utilisation des logiciels les plus courants dans les bureaux d’études.

Déjà parus dans la même collection coéditée par Eyrolles et Afnor éditions

Jean ROUX, Maîtriser l’Eurocode 2. Guide d’application, 2009, 338 p.

– Pratique de l’Eurocode 2. Guide d’application, 2009, 626 p.

Jean-Marie PAILLÉ, Calcul des structures en béton. Guide d’application de l’Eurocode 2, 2e éd. 2013, 640 p.

Jean-Louis GRANJU, Introduction au béton armé. Théorie et applications courantes selon l’Eurocode 2, 2012, 272 p.

APK, sous la direction de Jean-Pierre MUZEAU, Manuel de construction métallique. Guide d’application de l’Eurocode 3, 256 p.

Yves BENOIT, Bernard LEGRAND & Vincent TASTET, Calcul des structures en bois. Guide d’application de l’Eurocode 5, 2e éd. 2011, 512 p.

– Dimensionner les barres et les assemblages en bois. Guide d’application de l’Eurocode 5 à l’usage des artisans, 2012, 256 p.

Marcel HUREZ, Nicolas JURASZEK & Marc PELCÉ Dimensionner les ouvrages en maçonnerie. Guide d’application de l’Eurocode 6, 2009, 328 p.

Alain CAPRA & Aurélien GODREAU, Ouvrages d’art en zone sismique. Guide d’application de l’Eurocode 8, 2012, 128 p.

Nombreux titres sous presse ou en préparation

Biographie auteur

Alain Capra | Ancien directeur scientifique de Vinci Construction Grands Projets; consultant chez Dodin/Campenon-Bernard — alain.capra@vinci-construction.fr

Dominque Corvez | Ingénieur-architecte, directeur technique BFUP et Ductal chez Lafarge — dominique.corvez@lafarge.com

Victor Davidovici | Président d’honneur de l’Association française de génie parasismique; consultant, Dynamic Concept — victor.davidovici@dynaco.fr

Shahrokh Ghavamian | Directeur associé de NECS (Dr, Ph.D., Ing.) — shahrokh.ghavamian@necs.fr

Véronique Le Corvec | Ingénieur de structure (Ph.D., Ing.), NECS — veronique.lecorvec@necs.fr

Claude Saintjean | Spécialiste des calculs dynamiques à la Direction des techniques et des méthodes de Socotec — claude.saintjean@socotec.com

www.boutique-livres.afnor.org

www.editions-eyrolles.com

Sous la direction de

Victor Davidovici

avec

Dominique Corvez
Alain Capra
Shahrokh Ghavamian
Véronique Le Corvec
Claude Saintjean

Pratique du calcul sismique

Guide d’application de l’Eurocode 8

ÉDITIONS EYROLLES
61, bd Saint-Germain
75240 Paris Cedex 05
www.editions-eyrolles.com
AFNOR ÉDITIONS
11, rue Francis-de-Pressensé
93571 La Plaine Saint-Denis Cedex
www.boutique-livres.afnor.org

Le programme des Eurocodes structuraux comprend les normes suivantes, chacune étant en général constituée d’un certain nombre de parties :

EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures

EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures

EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton

EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier

EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton

EN 1995 Eurocode 5 : Calcul des structures en bois

EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie

EN 1997 Eurocode 7 : Calcul géotechnique

EN 1998 Eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes

EN 1999 Eurocode 9 : Calcul des structures en aluminium

Les normes Eurocodes reconnaissent la responsabilité des autorités réglementaires dans chaque État membre et ont sauvegardé le droit de celles-ci de déterminer, au niveau national, des valeurs relatives aux questions réglementaires de sécurité, là où ces valeurs continuent à différer d’un État à un autre.

En couverture :

Ce bâtiment tertiaire – ossature en béton armé avec remplissage de maçonnerie – situé en zone sismique est étudié ici sous deux configurations : actuelle et isolée avec des appuis parasismiques. La figure représente la superposition du mode principal du bâtiment dans ces deux configurations (en gris : actuelle ; en rouge et en violet : isolée) : la partie inférieure (en violet) correspond à la partie enterrée du bâtiment, la partie supérieure (en rouge) à ce qui est au-dessus du niveau du sol ; les appuis sont disposés entre ces deux parties (document © NECS).

En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que ce soit, sans l’autorisation de l’Éditeur ou du Centre Français d’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris.

© Afnor et Groupe Eyrolles, 2013

ISBN Afnor :...

Préface

Les récents séismes à travers le monde, la publication des Eurocodes en tant que normes nationales et le développement constant des moyens de calcul ont eu pour conséquence l’amélioration du savoir en génie parasismique, et, en corollaire, l’évolution de la prise en compte du risque sismique. Avec l’extension des zones à risque sismique en France, on assiste, de plus, à l’implication de nouveaux bureaux d’études.

Lancé en 1975, le vaste chantier d’harmonisation européenne des spécifications techniques dans le domaine de la construction a abouti en 2004 à la publication de l’ensemble de normes constituant la collection Eurocodes. La particularité de l’Eurocode 8 réside dans son application, qui ne peut se faire que conjointement avec les autres Eurocodes.

Néanmoins, face à la puissance des outils actuels et au regard de l’immodestie qu’ils suscitent souvent, il ne faut pas oublier que les fondements du génie parasismique sont le fruit d’observations empiriques et d’approches synthétiques des phénomènes. Ce constat établi par Dominique Corvez¹ dans le premier chapitre est d’autant plus significatif qu’il est formulé par un jeune ingénieur – architecte qui a complété sa formation par un Master en Génie Civil à l’Université de Californie – Berkeley.

La complexité de la réponse des structures est abordée par l’Eurocode 8 au niveau global par l’introduction d’un coefficient de comportement. Au niveau local, la conception des zones de concentration potentielle d’énergie, via des déformations plastiques, permet à la structure d’avoir un comportement ductile « théoriquement » maîtrisé.

On connaît mieux le phénomène, on connaît mieux le comportement des bâtiments et on maîtrise de mieux en mieux la simulation numérique. On dispose ainsi d’un ensemble de méthodes de calcul pour apprécier la réponse sismique des structures.

L’objectif poursuivi est de faire ressortir les notions de base et les phases essentielles du calcul dynamique. Ce sont elles qui constituent l’arrière-plan théorique indispensable pour prévoir correctement les conséquences d’une conception du comportement sismique d’un ouvrage.

Toujours à la recherche de méthodes plus élaborées pour diminuer le temps de calcul et déterminer un ferraillage plus réaliste, Alain Capra² a repris la théorie qu’il avait développée en 1978 et qui est depuis implantée dans tous les logiciels. Son activité de consultant lui permet aujourd’hui de valider cette théorie.

Bien qu’intégrée par l’Eurocode 8, l’approche non linéaire par « pushover » est très récente. Son usage n’est pas encore généralisé. Le chapitre correspondant profite de l’utilisation pratique de Shahrokh Ghavamian³ et de la connaissance de Véronique Le Corvec⁴ acquise lors de son Master en Génie Civil à l’Université de Californie – Berkeley.

La facilité apportée par de nombreux logiciels de calcul sismique est évidente. Encore faut-il qu’on puisse avoir suffisamment de pratique pour apprécier les limites d’application et les « pièges » éventuels. Claude Saintjean⁵, à la Direction technique de la Socotec, occupe une position idéale pour suivre l’évolution des logiciels, leur utilisation dans des cas réels de projets et pour en faire la synthèse dont profite cet ouvrage.

Il est important de rappeler que La pratique du calcul sismique n’est qu’une étape intermédiaire entre la phase de conception du bâtiment – avec l’application des dispositions techniquement cohérentes –, et celle essentielle de l’exécution.

L’originalité et la force de cet ouvrage, c’est qu’il est le résultat d’une pratique quotidienne de l’ensemble de ses auteurs. L’abord progressif des connaissances, la nature pratique des méthodes de calculs examinées, les nombreux exemples traités en font un outil de référence pour tous ceux qui, étudiants ou ingénieurs, veulent compléter leur formation dans le domaine du calcul sismique.

J’ai eu la chance de pouvoir mobiliser les rédacteurs de ces pages. Je les remercie à la fois pour leur confiance et pour le temps que chacun a accepté de soustraire à son travail quotidien, toujours prioritaire, pour rédiger cet ouvrage.

Victor DAVIDOVICI

Président d’honneur de l’Association française de génie parasismique
Consultant, Dynamique Concept

1. Ingénieur-architecte, directeur technique BFUP et Ductal chez Lafarge

2. Consultant chez Dodin/Campenon-Bernard

3. Directeur associé de NECS (Dr, Ph.D., Ing.)

4. Ingénieur de structure (Ph.D. Ing.), NECS

5. Spécialiste des calculs dynamiques...

CHAPITRE 1

Actions sismiques et réponses des structures

Dominique Corvez

Les progrès sensibles réalisés depuis les années 1960-1970 ont permis une amélioration notable de caractérisation de l’aléa sismique. Néanmoins, si les spectres réglementaires et accélérogrammes constituent des outils théoriques puissants pour le dimensionnement, il conviendra toujours de nuancer leur utilisation avec les caractéristiques propres des sites sur lesquels s’inscrivent les projets architecturaux. Comme le rappelle Jacques Betbeder dans [Betbeder & Matibet, 2003c], l’écart type des formules employées dans les codes parasismiques est du même ordre que la valeur moyenne.

De même, la réponse sismique est envisagée pour des structures tridimensionnelles régulières dont les modes de vibration sont clairement distincts. Aussi, la complexité de la réponse des structures hyperstatiques en terme d’accumulation d’énergie est aujourd’hui introduite via un coefficient de comportement constituant à ce jour la manière la plus simple et la plus directe d’encadrer la réponse. Une large partie de ce chapitre traitera de cette notion.

L’Eurocode 8 enrichit cette approche globale par un traitement local des modes de dissipation d’énergie. En prédéterminant dès la conception des zones de concentration potentielle d’énergie via des déformations plastiques, le schéma de rupture est forcé dans une direction où la structure présentera un comportement ductile et « théoriquement » maîtrisé.

Néanmoins, face à la puissance des outils actuels et l’immodestie qu’ils peuvent procurer, il faudra toujours conserver à l’esprit que les fondements du génie parasismique sont le fruit d’observations empiriques et d’approches synthétiques des phénomènes.

La validation globale du comportement d’un ouvrage devra ainsi toujours être effectuée par des raisonnements simples et par des ordres de grandeur que nous tenterons de présenter aussi souvent que cela est possible dans cet ouvrage.

1.1 Modes de vibration des structures

1.1.1 Pourquoi étudier les modes de vibration des structures

Certains des actions susceptibles de s’exercer sur une structure peuvent être à l’origine de sollicitations rapidement variables dans le temps.

Ces actions présentent un caractère dynamique lorsque les déformations correspondantes sont suffisamment rapides pour que les forces d’inertie¹ ainsi mises en jeu cessent d’être négligeables vis-à-vis des sollicitations d’autre nature agissant sur la structure, et lorsque par la suite, la réponse de cette dernière aux actions considérées apparaît comme conditionnée dans une proportion significative par ces forces d’inertie.

Ainsi, les charges roulantes, les machines vibrantes, le vent, le séisme, les explosions produisent de semblables effets.

Le mouvement sismique est appliqué à la surface du sol [EC8-1/3.2.2-(1)P]. Le calcul dynamique suppose la détermination de la réponse des structures à la sollicitation sismique par la prise en compte des forces d’inertie (celles-ci n’existant que pendant la durée du séisme) mises en jeu. La connaissance de l’état de contrainte à tout instant en découle.

Lorsqu’une structure se trouve soumise à une action sismique, elle effectue tout d’abord une série d’oscillations dont l’intensité augmente. C’est la phase dite « transitoire ». Puis, tant que dure le séisme, s’installe une série d’oscillations (vibrations) forcées régies par des lois en général complexes. Enfin, leur succèdent, dès que le séisme a pris fin, des oscillations libres, qui obéissent à des lois plus simples, et qui finissent par s’amortir plus ou moins rapidement (figure 1.1-1).

Il est à noter qu’en absence d’amortissement et d’excitation extérieurs, les structures peuvent osciller indéfiniment suivant une fonction sinusoïdale du temps.

Suivant la fréquence d’excitation, l’amplitude de la réponse est différente.

Pour les ouvrages dont la fréquence propre² de vibration est voisine de celle de l’action sismique, les effets dynamiques entrent en jeu : la réponse de l’ouvrage interagit avec l’action (il y a résonance).

En réalité, les structures ont autant de modes de vibration que de degrés de liberté.

L’idée maîtresse dans la démarche de calcul de la réponse selon l’Eurocode 8 sera de superposer correctement les réponses « unitaires » associées à chacun des modes de vibration multipliés par l’amplitude de l’excitation du mode à la fréquence considérée [EC8-1/4.3.3.1-(2)P].

La figure 1.1-2 donne respectivement dans le cas d’un portique (déformations de type cisaillement) et dans le cas d’un voile (déformations de type flexion) les déformations correspondant aux premiers modes et aux modes supérieurs.

Figure 1.1-1 Accélération du sol et réponse de la structure

a) Accélérations du sol – b) Réponse en déplacements – c) Réponse en vitesses – d) Réponse en accélérations

Figure 1.1-2 Modes de vibration

a) Portique : premier mode – b) Portique : modes supérieurs – c) Voile : premier mode – d) Voile : modes supérieurs

Dans cette situation, l’étude de l’oscillateur simple est essentielle, car le calcul dynamique d’une structure élastique comportant plusieurs degrés de liberté et plusieurs masses se ramène à celui de l’étude d’un certain nombre d’oscillateurs simples caractérisés chacun par un mode de vibration, c’est-à-dire par une période propre³, une déformée propre et un coefficient d’amortissement z. Le cumul de réponses (voir § 2.4.5) de ces oscillateurs simples permet d’obtenir la réponse de la structure.

Le mode de vibration, caractéristique intrinsèque de la structure, est un mouvement naturel (libre), pour lequel il n’y a pas de forces appliquées et qui donc peut être étudié au préalable.

1.1.2 Typologie des modes de vibration

Le mouvement du sol est connu a posteriori par son accélérogramme (t) enregistré lors d’un séisme ; on peut envisager trois situations des structures liées au sol :

• Structures parfaitement raides (la période T = 0) ; c’est-à-dire que chaque point de la structure a le même déplacement absolu que le sol (figure 1.3), donc la même accélération γ(t).

• Le déplacement relatif de la masse, quel que soit l’amortissement de la structure par rapport au sol est nul ; la réponse de l’oscillateur est quasi statique : d(t) = 0.

• L’accélération de l’oscillateur tend vers l’accélération du sol (l’amplification de l’oscillateur tend vers l’unité) appelée accélération à période nulle ou à fréquence infinie.

• En conséquence, une masse m attachée à cette structure (figure 1.1-3a), lui communique une force d’inertie : F = m.γ(t).

Figure 1.1-3 Réponses des structures

a) Oscillateur infiniment raide – b) Oscillateur infiniment souple

• Structures parfaitement souples (T = ∞) ; le déplacement absolu des masses de la structure en dehors de celles directement liées au sol (les fondations par exemple) est nul sous l’action des forces d’inertie.

Le déplacement relatif d(t) de la structure par rapport au sol passe par un maximum, et est opposé au déplacement absolu du sol (figure 1.1-3b).

Figure 1.1-4 Modes de vibration dans le cas d’un niveau élastique

a) Portique au rez-de-chaussée, voile en béton armé aux étages

b) Portique au rez-de-chaussée et portique, remplissage en maçonnerie aux étages

c) « Coup de fouet » : dernier étage en retrait

d) « Coup de fouet » : dernier étage très souple

• Structures courantes ; le déplacement absolu des masses de la structure par rapport à celui du sol n’est ni nul ni égal.

On rencontre aussi des structures comportant à la fois des parties souples et de parties raides, extrêmement contrastées, comme par exemple :

• des niveaux élastiques (portiques) situés généralement au rez-de-chaussée (figure 1.1-4a et b) ;

• le dernier étage en retrait ou d’une raideur beaucoup plus faible que l’étage courant (figure 1.1-4c et d), qui engendre des modes supérieurs mobilisant beaucoup d’énergie : effet « coup de fouet ».

Il est intéressant de remarquer que dans le cas même de structures courantes, certaines parties peuvent avoir un comportement de structure raide (type a) ; c’est notamment le cas quand la période tend vers zéro, et donc cette partie de la structure sera soumise à l’accélération du sol. On appelle ce comportement en mode rigide un pseudo-mode.

1.1.3 Étude de l’oscillateur simple

Lorsqu’on écarte un système tel qu’un oscillateur simple constitué d’une masse m fixée au bout d’une tige d’une position d’équilibre, compte tenu des liaisons et des déformations qui lui sont imposées, il y a apparition des forces de rappel qui tendent à le ramener à sa position de repos (figure 1.1-5).

Sous l’action du séisme, l’oscillateur est soumis à sa base au point A à un mouvement du sol D(t) variable avec le temps ; le mouvement que prend la masse oscillante est un mouvement plan entièrement défini par le déplacement du centre de gravité de la masse au temps t. Donc le système dépend d’un seul degré de liberté : le déplacement relatif d(t) de la masse par rapport au sol.

La réponse sismique d’une structure est exprimée par la prise en compte de l’équilibre dynamique des forces, s’exerçant sur la structure pendant la durée du séisme et déterminée lorsque la masse m occupe la position déformée définie par d(t) et est soumise aux forces horizontales suivantes :

• une force de rappel élastique exercée par le support de raideur k, qui est proportionnelle au déplacement relatif d(t) :

(1.1-1)F₁ = – k d(t)

• une force de freinage proportionnelle à l’amortissement c et à la vitesse relative v(t) ; autrement dit, à déplacement nul, l’amortissement est nul aussi :

(1.1-2)F₂ = – c v(t)

• une force d’inertie développée par la masse m dans le sens contraire à l’accélération (t) de l’action sismique ; les forces d’inertie caractérisent la résistance qu’opposent les masses à leur mise en mouvement ou à leur freinage, elles sont donc opposées aux forces élastiques :

(1.1-3)F = – mΓ(t) = – m [γ(t) + a(t)]

avec :

– γ(t) = l’accélération du sol ;

– a(t) = l’accélération de la masse m par rapport au sol.

Figure 1.1-5 Oscillateur simple

Les déplacements de la masse m sont mesurés, soit dans un repère relatif lié au point A (déplacement d(t)), soit dans un repère absolu (déplacement D(t)). Les déplacements sont liés par la relation :

(1.1-4)Δ(t) = D(t) + d(t)

En écrivant l’équilibre des forces, on obtient :

(1.1-5)F₁ + F₂ = – F(t)

On en déduit l’équation du mouvement :

(1.1-6)mΓ(t) + c v(t) +k d(t) = 0

soit compte tenu de la relation 1.1-3, on a :

(1.1-7)m[γ(t) + a(t)] + c v(t) + k d(t) = 0

soit encore :

(1.1-8)m γ(t)+ c v(t) + k d(t) = – m a(t)

On constate qu’on se ramène à l’étude d’un oscillateur simple dans le repère relatif (figure 1.1-5), en supposant la masse soumise à une force fictive – m.a(t) proportionnelle à l’accélération a(t) du point d’appui A.

En posant :

• k = la raideur du système ;

• ω = la pulsation du système non amorti (radian/seconde) ;

• T = la période (en secondes) ; le mouvement étant périodique, la durée d’un cycle est appelée période du mouvement ;

• f = la fréquence (Hertz) ;

on obtient le tableau d’équivalences (tableau 1.1).

Tableau 1.1-1...

CHAPITRE 2

Méthodes de calcul

Victor Davidovici

L’objectif poursuivi par ce chapitre est de ne faire ressortir que les notions de base et les phases essentielles du calcul dynamique, qui constituent l’arrière-plan théorique indispensable pour prévoir correctement les conséquences d’une conception donnée sur le comportement sismique de l’ouvrage.

Dans le même esprit, on présentera l’analyse modale spectrale dans la mesure où, dans la pratique, elle constitue la méthode de calcul la mieux adaptée aux moyens actuels des bureaux d’études ; de plus, de manière plus ou moins explicite, elle se trouve à la base des méthodes simplifiées envisagées par l’Eurocode 8.

2.1 Stratégie de calcul sismique

Le développement des moyens de calcul libère de plus en plus l’ingénieur des « phases mécaniques » de l’évaluation des sollicitations statiques et dynamiques dans le cadre d’une réglementation de plus en plus complexe.

Mais il faut garder présent à l’esprit que l’ordinateur calcule à partir du modèle qu’on lui donne, que celui-ci soit adapté ou non au problème posé compte tenu de la structure et des possibilités du logiciel utilisé.

Les logiciels comportent des procédures d’autocontrôle qui leur permettent de repérer les fautes de codage, mais l’erreur de jugement faite a priori au niveau du choix du modèle et a posteriori au niveau de l’interprétation des résultats ne peut être mise en évidence par aucun programme. Cela met en relief l’un des plus gros problèmes que l’on connaît lors de l’utilisation de l’ordinateur : le fait que l’on ait tendance à abdiquer toute responsabilité devant lui.

Du temps, en effet, où l’on établissait une note de calculs entièrement à la main, on s’en estimait responsable. Aujourd’hui, lorsque l’ordinateur a « parlé », très peu de monde vérifie ses affirmations, c’est-à-dire interprète convenablement les résultats.

Il s’agit donc de faire un usage averti et cohérent des moyens de calcul informatique qui s’avèrent indispensables sur le plan pratique, pour mener à bien toute analyse dynamique autre qu’élémentaire. Il est important d’apprécier la variabilité de la résistance des éléments de l’ouvrage, en tant que fonction de l’histoire de la sollicitation (niveau et signe des chargements précédents). Il faut aussi, pour l’appréciation de la sécurité d’un ouvrage, qu’à toutes les étapes de l’étude on puisse évaluer les incertitudes et les marges de sécurité ; il est donc essentiel que l’ingénieur formalise, au fur et à mesure, les choix qu’il est amené à faire.

Le choix des méthodes de calcul et la maîtrise de la modélisation de la structure (figure 2.1-1) doivent donc avoir pour objectif une approche aussi fidèle que possible du comportement réel de l’ouvrage considéré compte tenu non seulement du type d’ossature, mais aussi des caractéristiques du matériau constitutif et, bien entendu, des conséquences dues aux approximations habituelles, telles que la non-prise en compte des éléments secondaires de structures et des éléments non structuraux ; l’expérience et le jugement du calculateur sont ici des facteurs déterminants.

Figure 2.1-1 Stratégie du calcul sismique

Une étape essentielle, avant tout calcul, consiste dans l’établissement d’un ensemble cohérent des hypothèses, validées à la fois par le maître d’ouvrage, le maître d’œuvre, le bureau d’études et le bureau de contrôle.

On connaît l’interdépendance entre l’intensité de l’action sismique et les conséquences sur la réponse de la structure. Dans cette situation, il est important de ne pas perdre de vue que la précision des résultats est plus ou moins entachée d’incertitude du fait des hypothèses auxquelles les méthodes de calcul doivent faire appel.

Il est utile de rappeler que le comportement élastique-linéaire (loi de Hook) repose sur trois hypothèses (élasticité, linéarité et isotropie du comportement) :

• l’hypothèse d’élasticité revient à supposer les déformations réversibles : il ne subsiste donc aucune déformation permanente ou résiduelle quand on annule le chargement appliqué ;

• l’hypothèse de linéarité s’applique à la relation entre les contraintes et la déformation ;

• l’isotropie du comportement implique que si l’on fait tourner les axes principaux de la sollicitation par rapport au matériau, sa réponse (à la rotation près) reste identique.

On sait que ces trois hypothèses ne sont guère réalistes dans le cas du sol ou du béton armé.

Pour apprécier le réalisme des résultats de calcul, on doit donc prendre en compte la variabilité de l’action sismique, des caractéristiques de sol (module dynamique, densité, etc.) et de la rigidité de la structure (module du béton fissuré, inerties, etc.). Il n’est pas exclu d’avoir à faire plusieurs calculs avec différentes valeurs du même paramètre pour apprécier l’incidence de leur variation sur les résultats : modules dynamiques du sol, modules du béton, rigidités, etc.

Il s’agit d’estimer si une imprécision dans les données du calcul n’entraîne pas une variation excessive au niveau des résultats.

La détermination de la réponse de la structure et son dimensionnement peuvent se faire par trois méthodes de calcul (figure 2.1-1) dont le choix est fonction à la fois du type de la structure et de la nature de l’excitation dynamique ; il s’agit donc de s’orienter vers l’une ou l’autre des méthodes suivantes (figure 2.1-2) :

Figure 2.1-2 Étapes du calcul sismique

• analyse par forces latérales. Cette analyse [EC8-1/4.3.3.2] est en réalité le calcul statique équivalent qui implique la substitution au calcul dynamique des équivalents statiques censés produire les mêmes effets. Le calcul statique peut être considéré comme dérivant de l’analyse modale par les simplifications suivantes :

– le seul mode fondamental est pris en compte, les masses modales négligées étant reportées sur ce mode,

– la déformée du mode fondamental est arbitrairement assimilée à une droite pour les structures à portiques et à une parabole pour les structures à voiles ;

• analyse modale spectrale. Il s’agit de mettre en évidence les modes propres du mouvement libre (caractéristique de la structure) et d’introduire le spectre de dimensionnement qui fournit la valeur de la réponse maximale à un instant donné [EC8-1/4.3.3.3]. De point de vue du génie parasismique, la réponse maximale d’un ouvrage, au cours d’un séisme, importe plus que la chronologie détaillée du mouvement dans le temps ;

• analyse temporelle (transitoire). À partir des accélérogrammes, [EC8-1/4.3.3.1-(4d)P], elle donne la valeur de la réponse de la structure en fonction du temps. L’analyse transitoire est en fait une analyse modale pour laquelle l’accélération de chaque mode est déterminée en fonction du temps par l’intégrale de Duhamel de l’accélérogramme. Elle se différencie donc principalement de l’analyse modale « spectrale » par le fait que pour cette dernière méthode, le spectre de réponse d’oscillateur donne directement le maximum d’accélération pour chaque mode (mais non pas sa variation) ;

• il ne faut pas confondre cette méthode transitoire avec l’intégration directe, qui est un calcul pas à pas utilisé essentiellement pour les structures qui présentent un caractère non linéaire : entrechoquement, décollement des fondations, dispositifs d’appuis parasismiques.

L’analyse du comportement des structures à l’action sismique est fonction (figure 2.1-1) :

• de la catégorie du bâtiment ou de l’installation industrielle :

– à risque normal en fonction de la catégorie d’importance II, III, IV,

– à risque spécial pour les installations classées et assimilées ;

• dans le cas du risque normal, de la régularité du bâtiment :

– bâtiments respectant les critères de régularité : analyse par forces latérales ;

– bâtiments de hauteur < 10 m : méthode de calcul simplifiée,

– bâtiments irréguliers : analyse modale spectrale ;

• des modèles de calcul :

– modèle de l’action sismique, accélérogrammes ou spectres,

– modélisations de l’interaction sol-structure : encastrement parfait ; modèle global unique sol et ouvrage,

– modélisations de la structure : modèle par éléments finis ; modèle à masses concentrées et raideurs équivalentes,

– modèle des masses reparties ou concentrées agissant en translation et en rotation.

Les limites d’utilisation des méthodes de calcul s’établissent :

• soit par réglementation ;

• soit à partir de l’expérience acquise par l’ingénieur ;

• soit après l’examen des ouvrages à la suite d’un séisme ;

• soit, encore, à partir des essais.

Dans le choix de la méthode de calcul et des coefficients de comportement associés l’Eurocode 8 classe [EC8-1/4.2.3.1-(1)P] les structures de bâtiment en structures régulières et structures irrégulières. Les conséquences de la régularité de la structure sur l’analyse et le calcul sismique sont résumées dans le tableau 2.1-1 (figure 2.1-3).

Figure 2.1-3 Catégorie de structures et méthode d’analyse

Tableau 2.1-1 Conséquences de la régularité de la structure sur l’analyse sismique [EC8-1/4.2.3.1-(3)P]

(a) L’irrégularité en plan associée à la régularité en élévation permet néanmoins de faire une analyse par forces latérales avec les valeurs de référence pour le coefficient de comportement à condition toutefois que la période fondamentale T₁ soit :

(b) La réduction de (0,8) du coefficient de comportement s’applique uniquement en cas d’irrégularité en élévation [EC8-1/4.2.3.1-(2)]. Le non-respect de la totalité des critères de régularité en élévation et plus particulièrement la non-continuité [EC8-1/4.2.3.3-(2)] des éléments de contreventement depuis les fondations et jusqu’au sommet du bâtiment impose d’emblée l’application de la réduction du coefficient de comportement.

(c) Les valeurs de référence des coefficients de comportement sont détaillées au chapitre 1.

Les critères de régularité en plan et en élévation sont indiqués au paragraphe 2.3.

2.2 Modélisations

2.2.1 Modélisation de la structure (un bon modèle est un modèle utile)

La modélisation consiste dans l’établissement de modèles à partir de la structure réelle. Il s’agit ensuite, lors de l’exploitation des résultats, de dimensionner ou de vérifier (par le règlement ou le par le savoir-faire) la structure d’origine.

L’action sismique concerne l’ouvrage dans sa globalité, sans distinction artificielle entre les différentes parties de structures qui peuvent le composer ni les différents matériaux constitutifs ; sans distinction non plus de la manière dont a été fait le modèle.

Or, même sans le savoir, le calculateur, de manière intuitive, construit implicitement des modèles. Une question se pose alors : pourquoi construire explicitement les modèles, les valider et les tester ?

Plusieurs raisons incitent à cette démarche de modélisation :

• tout d’abord, cela force le calculateur à établir clairement et à estimer les interrelations sous-jacentes ;

• ensuite, la confiance aveugle dans l’intuition, surtout dans le domaine de la dynamique, peut amener à une mauvaise appréciation du vrai comportement de la structure sous l’action sismique ;

• de plus, les interactions avec le sol, avec le voisinage, avec les éléments non structuraux, sont des relations « marginales », qui ne sont que quelques éléments d’un modèle global, mais qui doivent être testées et validées, afin d’apprécier leur véritable incidence, ce qui n’est pas fait dans la démarche intuitive ;

• enfin, il est nécessaire de fournir en même temps que la modélisation une mesure de confiance que le calculateur peut lui accorder, c’est-à-dire la précision que l’on peut en attendre. Là encore, l’utilisation de méthodes purement intuitives exclut toute mesure quantitative de la fiabilité d’une modélisation.

La détermination d’un modèle, tenant compte le plus correctement possible de la masse et de la raideur de tous les éléments d’une structure, est donc une phase essentielle pour l’étude de la réponse au séisme.

Si le calcul des masses et de leur position peut être effectué avec une bonne précision, en revanche, celui des raideurs est souvent très approximatif :

• dans le cas des constructions en béton armé, les inerties des sections sont modifiées par la fissuration et il existe une imprécision sur la valeur des modules et des largeurs des tables de compression ;

• pour les ossatures métalliques, le calcul des raideurs est plus précis, mais dans le cas des charpentes boulonnées, une erreur est introduite par le jeu dans les assemblages ;

• quel que soit le type de structure, il faut tenir compte de l’imprécision souvent très importante des caractéristiques dynamiques du sol.

Compte tenu de toutes ces imprécisions, il est donc inutile de détailler excessivement un modèle dans le seul but de restituer la raideur de la structure ; par contre, il faut prévoir un nombre suffisant de masses concentrées ce qui, dans la plupart des cas, donne la limite des simplifications admissibles pour le modèle.

Des règles simples déduites de considérations sur les formes des modes excités par un séisme d’une direction donnée permettent le choix du nombre minimum de masses. On peut être ainsi conduit à établir des modèles différents selon la direction du séisme étudié.

Dans cette situation, on doit chercher à rendre autant que possible explicites, modifiables et validables les connaissances mises en jeu dans l’établissement du modèle et dans l’interprétation des résultats.

Les approximations introduites lors du choix des hypothèses et du modèle de calcul ainsi que la variation des divers paramètres ont des conséquences sur les résultats dont il faudra apprécier l’incidence sur le fonctionnement réel de la construction et maîtriser en conséquence les résultats du calcul dynamique.

Il faut donc que la modélisation soit faite, non seulement en fonction des hypothèses de calcul et de la nature de l’ouvrage, mais aussi et surtout en fonction des résultats recherchés.

2.2.1.1 Quelle modélisation pour quel résultat ?

L’analyse dynamique requiert toujours de créer d’abord un modèle de calcul représentant la structure. Ce modèle, introduit ensuite dans un programme de calcul dynamique, permet alors la détermination des modes propres de vibration et des efforts engendrés par l’action sismique.

Deux types de modèles peuvent être envisagés :

• modélisation par éléments finis ;

• modélisation à masses concentrées et raideurs équivalentes (brochette).

Schématiquement, l’étude sismique d’un ouvrage doit prendre en compte le sol, la structure et les fondations associées. Cet ensemble doit être modélisé plus ou finement en fonction des résultats attendus.

Apparaît la notion d’échelle de la modélisation qui définit l’importance du modèle en fonction du résultat attendu :

• modélisation 2-D, représentation plane dont les nœuds sont affectés de trois degrés de liberté : une translation verticale, une translation horizontale et une rotation situées dans le plan ;

• modélisation tridimensionnelle, 3-D, dont les nœuds sont affectés de six degrés de liberté. Les éléments finis sont des éléments de plaque, coque ou volume ou encore des éléments barres.

À la base de la modélisation en éléments finis se trouve le principe de discrétisation : on limite l’analyse à un nombre fini de points (éléments)...