QUE SAIS-JE ?

La probabilité, le hasard et la certitude

PAUL DEHEUVELS

Professeur à l’Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris VI)

Membre de l’Académie des sciences

Quatrième édition mise à jour

18e mille

978-2-13-060954-4

Dépôt légal — 1re édition : 1982

4e édition mise à jour : 2008, septembre

© Presses Universitaires de France, 1982
6, avenue Reille, 75014 Paris

Préface

J’ai rencontré un jour quelqu’un qui affirmait de toute bonne foi son scepticisme sur la possibilité de trouver des résultats nouveaux en mathématiques. Il m’est apparu que, si une telle opinion pouvait exister, c’était dû à l’égoïsme des mathématiciens eux-mêmes, peu enclins à faire l’effort de parler de leur matière autrement que pour un public de spécialistes. À leur décharge, il faudrait reconnaître qu’il est bien difficile de discourir de choses abstraites sans ennuyer, et qu’il y a bien assez de travail à faire pour chercher des choses nouvelles (et chacun sait que seule la recherche est appréciée réellement dans les milieux scientifiques), pour qu’on ait besoin d’y ajouter encore des tâches de vulgarisation.

Néanmoins, il faut faire l’effort de rendre la science accessible au plus large public, et, après coup, je dois admettre avoir eu beaucoup de plaisir à écrire une monographie dans un tel esprit. J’espère qu’elle atteindra son but qui est de faire connaître certains développements récents (et anciens) du calcul des probabilités, et aussi qu’elle contribuera, par l’exemple, à faire écrire davantage les mathématiciens pour le reste de l’humanité.

Le lecteur pourra compléter le contenu de cet ouvrage en se référant aux auteurs et ouvrages cités dans le texte et à la fin de celui-ci. Cette opération est considérablement facilitée, depuis déjà quelque temps, par l’utilisation de moteurs de recherche sur Internet. En particulier, les références précises de la plupart des publications mathématiques sont disponibles, entre autres, sur le serveur MathSciNet du site de l’American Mathematical Society : http://www.ams.org/.

Introduction

Le titre de cet essai peut paraître paradoxal, en ce qu’il allie deux notions antinomiques, celles du hasard et de la certitude.

Il s’agit en fait pour nous de montrer comment naît la certitude, à partir d’un phénomène soumis aux lois du hasard. Nous aurions pu également donner comme titre de ce qui suit quelque chose comme Réflexions sur les lois des grands nombres, bien que notre propos aille sensiblement au-delà.

Avant d’aller plus loin, donnons quelques exemples permettant de comprendre ce dont il s’agit.

Les réalisations physiques les plus élémentaires de phénomènes aléatoires se trouvent dans les jeux de hasard, comme « pile ou face », ou un lancer de dés. Il n’est pas d’ailleurs superflu de rappeler qu’alea signifie dé en latin, de même que hasard provient de l’arabe oriental al-zahr, qui fut utilisé, jusqu’au XIIe siècle pour désigner le jeu de dés. Ceci met en évidence l’importance du jeu dans la naissance historique du calcul des probabilités.

Le cas le plus simple d’une suite aléatoire peut être réalisé physiquement par une suite (ou répétition illimitée) de jeux de pile ou face, où une pièce de monnaie, jetée en l’air, retombe « au hasard » en faisant apparaître sur sa partie visible, soit pile, soit face. Il est « naturel » de supposer que les résultats successifs du jeu sont indépendants, imprévisibles, que la pièce soit équilibrée afin qu’il n’y ait pas de raison que face sorte plus vraisemblablement que pile, ou vice versa.

Après avoir observé les n premiers jeux, comptons le nombre Sn de fois que face est apparu, du 1er au n-ième jet de pièce. La fréquence d’apparition de face est alors définie par le rapport Sn/n, nombre compris entre 0 et 1, et pouvant prendre, a priori, n’importe laquelle parmi les valeurs possibles 0, 1/n, 2/n, …, (n – 1) /n, 1.

Quel est le comportement de Sn/n lorsque n augmente indéfiniment ? La réponse à cette question est donnée par ce qui est appelé usuellement la « loi des grands nombres », démontrant par le calcul mathématique que la suite Sn/n converge vers 1/2. Une expression plus rigoureuse de ce résultat (Kolmogorov, 1930, voir le chap. III) consiste à dire que la limite de Sn/n, lorsque n tend vers l’infini, est égale à 1/2, avec probabilité 1. Comme nous le verrons plus loin, ceci revient, en pratique, au même, puisqu’un événement de probabilité 1 est « physiquement certain ».

On voit ainsi que, dans ce phénomène dont il n’est pas possible de prévoir le détail des réalisations, il est, néanmoins, possible de dégager une certitude globale.

On peut objecter que la convergence des fréquences du jeu de pile ou face vers 1/2 est « assez naturelle ». En fait, un peu de réflexion montre que le résultat n’est pas du tout évident. On pourrait, par exemple, tout à fait imaginer que Sn/n oscille indéfiniment entre 0 et 1, sans converger vers une limite particulière.

Un autre exemple de « loi des grands nombres » permet d’obtenir un résultat très inattendu. Il s’agit de l’aiguille de Buffon.

L’expérience, inventée en 1777 par Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707-1788), consiste à tracer sur le sol un réseau de droites parallèles, mutuellement distantes de a unités de longueur. On jette par terre une aiguille mince de longueur l < a, et on regarde si l’aiguille croise ou non une droite du réseau. Répétant l’expérience un grand nombre de fois, on mesure la fréquence pn (nombre d’intersections / nombre de cas total) de ces intersections. Il se trouve que, lorsque le nombre n d’expériences augmente indéfiniment, la fréquence pn converge vers , permettant d’obtenir l’évaluation expérimentale , de π = 3,14159…, au prix d’une règle de trois. Il est surprenant qu’on puisse évaluer π à partir de l’observation d’un tel phénomène aléatoire ; c’est cependant le cas, et de nombreuses répliques expérimentales de ce phénomène ont conforté cette loi.

[Nous invitons le lecteur à réaliser cette expérience sur un parquet, avec une allumette taillée de sorte à respecter les proportions l = (0,8) a, ou a = (1,25) l. Pour obtenir une estimation de π comprise entre 3,1 et 3,2 il faut faire de l’ordre d’une centaine de jets, car la convergence est relativement lente. Buffon alla lui-même jusqu’à 2 048 jets d’aiguille, ce qui lui permit d’évaluer π avec une précision de deux décimales. ]

L’aiguille de Buffon

La « loi des grands nombres » s’applique ici aux moyennes d’épreuves aléatoires répétées de même nature. Elle n’est pas la seule de son genre qui permette de décrire des comportements certains de suites aléatoires. Il existe, en fait, une multitude de « lois des grands nombres », dont certaines sont très surprenantes.

Notre propos sera centré sur l’étude des résultats de ce type, dont plusieurs, parmi ceux que nous évoquerons, n’ont été découverts que fort récemment. Malgré l’utilité évidente de faire connaître de telles « lois naturelles », nous ne pourrons ici, faute de place, qu’aborder superficiellement l’étude de ces phénomènes, souvent bizarres, et qui présentent un caractère d’universalité les plaçant au cœur même de la science.

Dans la suite, nous nous efforcerons d’adopter une présentation aussi vivante que possible du hasard et de la certitude. Ceci sera fait en suivant un ordre peu académique, consistant, davantage, à « raconter le calcul des probabilités », et son évolution historique, plutôt que de discourir pour les spécialistes seuls.

Chapitre I

De l’impossibilité d’observer des événements improbables

La notion de hasard, de probabilité, d’aléa est fort difficile à présenter de manière cohérente, en ce qu’elle mélange des modèles mathématiques, philosophiques et physiques. Il faut distinguer, d’une part, la théorie mathématique du calcul des probabilités, qui constitue une branche de l’Analyse, aux développements parfaitement rigoureux, et, d’autre part, les phénomènes physiques, qui s’interprètent à l’aide de cette théorie, sans qu’on puisse toujours justifier complètement la validité de cette modélisation. L’adéquation du modèle probabiliste au monde physique s’observe, mais ne se démontre pas. La philosophie demeure en filigrane de ces concepts, dans la mesure où le débat n’a jamais cessé entre les tenants du déterminisme pur (où rien n’est laissé au hasard), et ceux qui considèrent que le hasard est une composante naturelle du monde où nous vivons (mentionnons à ce point la théorie du chaos, principalement développée à partir de 1975, et qui montre que de nombreux phénomènes sont, par nature, imprévisibles au-delà d’un certain horizon temporel, du fait de leur sensibilité aux conditions initiales de leur description).

Reprenant l’exemple du jeu de pile ou face que nous évoquions antérieurement comme prototype de phénomène aléatoire, on voit qu’un tel phénomène physique est imprévisible dans ses réalisations individuelles. Il faut, pour le décrire, arriver à définir des grandeurs permettant de quantifier le caractère plus ou moins probable d’événements susceptibles d’être observés.

Dans le cas de jeux finis, où chacune des possibilités individuelles a, a priori, les « mêmes chances » de se réaliser (par exemple pour des raisons de symétrie dans le jeu de pile ou face), il est naturel de définir la probabilité, notée P(A), d’un événement A observable dans le jeu, par le rapport :

À titre d’exemple, dans un jeu de 3 « pile ou face », il est possible d’observer indifféremment FFF, FFP, FPF, PFF, FPP, PFP, PPF, PPP. La probabilité de l’événement A = { Pile apparaît une fois } étant ainsi égale à 3/8, puisque A se produit dans les 3 cas FFP, FPF et PFF, sur un total de 8 cas possibles.

Par cette définition, un événement de probabilité très petite peut être considéré comme très peu vraisemblable, et donc difficile à observer. Considérons par exemple la probabilité d’observer 10 piles consécutifs dans un jeu de pile ou face, soit PPPPPPPPPP. La probabilité correspondante est alors 2 – ¹⁰ = 1/1 024 ≅ 0,09 %. Il semble donc pratiquement exclu qu’un joueur observe cette configuration en ne réalisant qu’une seule expérience.

Ceci n’est pas pour autant impossible puisque, en admettant que le même joueur soit très patient et répète, par exemple, 4 000 fois son jeu de 10 « pile ou face », il aurait cette fois-ci une probabilité de 1 – (1 – 2 – ¹⁰)4 000 ≅ 98 % d’observer, au moins une fois parmi les 4 000 répétitions du jeu, 10 piles consécutifs. Ceci rend donc l’observation d’un tel événement très probable sur le long terme.

Supposons maintenant que la suite des jeux de pile ou face soit infinie. Il n’est plus possible alors de définir la probabilité par le rapport { Nombre de cas possibles } / { Nombre de cas total }, expression qui n’a pas de sens, son dénominateur étant infini. Il est cependant possible de prolonger logiquement la définition précédente, en accordant, par convention, à la probabilité, des propriétés de continuité pour certains passages à la limite. Ceci permet d’attribuer à des événements, tels que PPP…P… (soit que pile sorte tout le temps), la probabilité 0.

Comme, déjà, un événement de probabilité très petite peut être considéré comme quasiment impossible à observer en une seule épreuve, on est amené à admettre le postulat stipulant que, si un événement a une probabilité nulle, on doit considérer sa réalisation comme une impossibilité physique.

Ce point devient délicat lorsqu’on considère globalement l’ensemble de tous les cas imaginables de suites de pile ou face. Bien que, par le principe précédent, chacun de ces événements soit « physiquement impossible », il y en a toujours un parmi eux qui se réalise, d’où un paradoxe. Il est donc nécessaire de préciser l’interprétation du principe en notant que l’impossibilité physique d’observer un événement de probabilité nulle n’est valable pour un seul de ces événements, spécifié avant l’expérience.

Lorsque nous parlons ici d’un seul événement, ceci n’exclut pas le fait que cet événement soit composite, puisque, comme nous le verrons, si A₁, A₂, …, est une suite d’événements de probabilité nulle, l’événement, noté A₁ ∪ … ∪ An ∪ …, qui a lieu si l’un au moins des Ai a lieu, est encore de probabilité nulle. En d’autres termes, si chacun des événements d’une suite d’événements est de probabilité nulle, il est impossible physiquement d’en observer un seul.

Nous arrivons ainsi à dégager les idées suivantes :

1 / Un phénomène aléatoire est, par définition, impossible à prévoir dans le détail ; on ne peut qu’évaluer le caractère plus ou moins probable de certains événements observables qui lui sont associés.

2 / Si le phénomène est assez complexe, il est possible d’attribuer à certains événements théoriquement observables la probabilité 0, ce qui en fait des impossibilités physiques.

3 / Si on peut dire antérieurement à l’observation d’un phénomène aléatoire que certaines de ses réalisations théoriquement possibles n’auront certainement pas lieu, dans quelle mesure reste-t-il encore aléatoire ? En d’autres termes n’est-il pas paradoxal de dégager des certitudes de phénomènes aléatoires ?

Les multiples lois des grands nombres, décrivant des comportements certains d’objets aléatoires, sont parfaitement illustrées par l’exemple des jeux de hasard. Il est, en effet, assez courant de voir des joueurs de casino essayer d’utiliser une loi des grands nombres pour tenter d’assurer leurs gains au détriment de leur adversaire. Une méthode de ce type qui reste très populaire, malgré ses inconvénients, est celle du « principe de compensation », que nous décrivons ci-dessous (voir, plus loin, le chap. XIV).

Au casino (voir le chap. XIII), le jeu de pile ou face est remplacé par la sortie de pair ou impair, ou de rouge ou noir, à la table de roulette. De tels jeux se comportant comme celui de pile ou face, nous conserverons le vocabulaire de ce dernier jeu. Si on désigne par Sn le nombre de fois que face sort en n jeux, et par Tn = Sn – n, la différence entre le nombre de fois où face est sorti et le nombre de fois où pile est sorti, jusqu’au n-ième jeu inclus, il est alors possible de démontrer que, avec probabilité 1, la suite T₁, …, Tn passe une infinité de fois par 0.

La stratégie du joueur est alors la suivante. Il observe T₁, …, Tk jusqu’à ce que se produise un excédent de Tk (relativement à 0) d’un niveau fixé à l’avance, tel que, par exemple, Tk = 5 (excédent de 5 faces sur les piles). Le parieur joue alors la compensation, en misant systématiquement des enjeux identiques sur l’inverse de l’excédent observé (ici, il parie sur la sortie future de pile), jusqu’à ce qu’advienne la compensation, caractérisée par Tn + k = 0. Le joueur est alors assuré d’avoir enregistré, à cet instant un gain égal à Tk = 5 fois son enjeu de base.

Les inconvénients de ce « système » sont multiples. Tout d’abord, il ne s’agit pas ici de jeux de pile ou face équilibrés, mais de jeux de roulette, où, avec une probabilité de 1/37, 2/38 ou autre (sortie du 0 ou 00), les mises sont confisquées, totalement, ou partiellement, par la banque. Ceci fait que le jeu de la compensation sera, en moyenne, perdant à long terme, compte tenu du nombre de fois où la banque confisquera les mises entre le début du jeu et le retour à la compensation. Paradoxalement, le fait de parier sur l’inverse de la compensation (ici, de jouer face) jusqu’à obtenir un montant de gain fixé à l’avance revient, sur le plan probabiliste, strictement au même que de « jouer la compensation ». Il ne s’agit donc là que d’un support psychologique n’apportant aucune garantie particulière. Enfin, les fluctuations de Tk + m, pour m = 1, 2, …, avant son retour au niveau 0, peuvent être suffisamment importantes pour ruiner un joueur ne disposant pas d’une fortune au moins égale à celle du casino, et, qui plus est, nécessiter un temps d’attente considérable.

Nous ne manquerons pas plus loin (voir le chap. XIII) d’évoquer plus en détail les jeux de casino, notamment pour préciser certains aspects de leur structure probabiliste. Nous nous poserons la question que tout joueur se pose, à savoir, s’il est réellement possible d’y gagner de l’argent à l’aide d’un système, ou d’une martingale. La réponse que nous donnerons à cette interrogation sera à peu près la suivante : il est possible, à condition de risquer beaucoup, de gagner peu, avec une quasi-certitude, à condition de ne le faire qu’une fois, et de ne jamais recommencer. Nous verrons d’ailleurs que le plus intelligent est encore de ne pas jouer du tout, ce qui se démontre par un raisonnement mathématique sans ambiguïté, mais qui ne dissuadera, sans doute pas, les joueurs les plus passionnés.

Pour rendre plus intuitive la signification des événements de probabilité nulle, considérons, à nouveau, un jeu infini de « pile ou face », et posons-nous le problème de savoir s’il est possible de répertorier toutes les réalisations théoriquement possibles du jeu, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les suites infinies de F et de P, dans un catalogue indexé par les nombres entiers 1, 2, 3, … Un ensemble pouvant être ainsi numéroté est dit dénombrable (pouvant être dénombré). Physiquement, les ensembles dénombrables sont les seuls qui soient humainement accessibles, en ce que, prêtant à l’humanité une durée de vie infinie, il lui serait toujours possible, par éliminations successives, de retrouver au bout d’un temps assez long un élément donné « perdu » dans l’ensemble.

Il se trouve, précisément, que l’ensemble des suites infinies de P ou F ou, de manière équivalente, l’ensemble des cas possibles dans un jeu infini de pile ou face, n’est pas dénombrable.

Pour le montrer, utilisons l’argument de Cantor (1845-1918), consistant à supposer la chose possible, et réalisée dans un tableau, tel celui de la figure 2.

Fig. 2

Il suffit alors de prendre la diagonale, ici PPPPF…, et de considérer son opposé, ici FFFFP…, qui n’appartient pas au tableau, contredisant l’hypothèse de dénombrabilité.

Le jeu de « pile ou face » est un cas particulier de phénomène aléatoire composé d’un ensemble de réalisations possibles échangeables, c’est-à-dire pouvant être permutées par une transformation bijective (où chaque objet de l’ensemble image est le transformé d’un objet unique de l’ensemble de départ) quelconque, sans modification de la structure probabiliste.

Lorsqu’un phénomène aléatoire a un ensemble de réalisations possibles échangeables, les seules possibilités sont obtenues lorsque :

1 / Il n’y a qu’un nombre fini de cas possibles équiprobables (de même probabilité).

2 / L’ensemble des cas possibles est non dénombrable, chaque cas ayant une probabilité nulle.

En effet, s’il existait un dénombrement ω₁, ω₂, …, ωn, … des événements élémentaires, la probabilité P (ωi) = p de chacun d’entre eux ne dépendrait pas i = 1, 2, … Ces événements étant disjoints, on devrait alors avoir l’inégalité P (ω₁∪ … ∪ ωn) = P (ω₁) + … + P (ωn) = np ≤ 1. Cette propriété ne peut avoir lieu pour tout n ≥ 1, que si p = 0. Si c’est le cas les propriétés de la probabilité impliquent que ce qui est impossible, car .

Cet exemple illustre bien le fait que la notion de probabilité est intimement liée à la notion de dénumérabilité. Compte tenu de ce qui précède, on peut dire que :

Un événement de probabilité nulle peut être interprété intuitivement comme un événement trop petit pour qu’on puisse l’atteindre...